sábado, 23 de maio de 2009

FUNÇÕES

O estudo de funções que se inicia nos livros de aula da oitava série de Matemática e possui continuação nos livros do ensino médio e em cursos que envolvem Matemática avançada, possui diversas aplicações na análise de situações práticas. Veja alguns exemplos de fácil compreensão:



- Ao procurar um emprego na área de venda de computadores, João recebeu três ofertas parecidas de emprego. Na primeira oferta foi-lhe oferecido um salário fixo de 400 reais por mês mais um adicional de 8% sobre o valor bruto da venda de peças novas. Na segunda oferta, um salário fixo de 500 reais por mês mais um adicional de 6% sobre o valor bruto da venda de peças novas. E, na terceira oferta, foi-lhe oferecido um salário fixo de 600 reais por mês, mais um adicional de 4% sobre o valor bruto da vendas de peças novas. Ressalte-se que nos três empregos, joão trabalhará em ambiente climatizado e não receberá comissão quando da venda de peças usadas ou valores referentes a concertos.


E agora, como a Matemática pode ajudar João (ou até mesmo os donos das empresas) a entender melhor o que isto significa?


Primeiramente vamos denominar de x o valor em reais das possíveis vendas de João e de y o salário de joão ao fim de cada mês.


Procederemos em seguida à lei matemática de cada situação:


Primeira oferta: y = 0,08x + 400


Segunda oferta: y = 0,06x + 500


Terceira oferta: y = 0,04x + 600


Podemos representar graficamente a função de cada oferta, assim:

Analisando o gráfico vê-se que se as vendas forem de 5000 reais por mês, então o salário será de 800 reais em qualquer dos três empregos. Se a venda mensal for menor do que 5000 reais por mês, então a terceira oferta será de maior lucratividade para joão e se as vendas forem superiores a 5000 reais mensais, então a primeira oferta seria a mais lucrativa para joão.


Cabe portanto fazer uma análise de mercado para descobrir se é possível manter uma média de vendas superior à 5000 reais por mês para que joão possa finalmente se decidir de uma forma racional para a melhor oferta.




Vamos construir uma tabela de salários em função de alguns possíveis valores de vendas:




VENDAS ...OFERTA 1 .....OFERTA 2 .........;.OFERTA 3
400 ..............432 ......................524 ............................616
1000 ............480 .....................560.............................640
2000............. 560 ....................620 ............................680
3000.............640 .....................680 .............................720
4000 ............720 .....................740..............................760
5000 ............800 .....................800 ............................800
6000 ............880 .....................860 ...........................840
7000 ............960 .....................920 ...........................880
8000 ............1040 ...................980 ...........................920
9000 ............1120 ....................1040 ...........................960
10000 ..........1200 ...................1100 ..........................1000
15000 ..........1600 ...................1400 .........................1200
25000 ..........2400 ...................2000 .........................1600
40000 ...........3600 ..................2900 ........................2200




SITUAÇÃO 2 :


.- Quando um objeto como uma pedra, um tijolo, uma pessoa ou um avião é "largado" de uma determinada altura, devido à ação da gravidade da Terra, esse objeto tende a rapidamente se aproximar do chão podendo se espatifar neste. Se por exemplo, um tijolo for largado de uma altura de 2cm do seu pé, provavelmente você não sentirá dor alguma, mas se o mesmo ocorrer de 1m ou 2m de altura... ai, ai... O que ocorre é que a velocidade de colisão entre o tijolo e seu pé é diferente nos dois casos, pois a velocidade do tijolo é dada em função da altura que é largado.


O matemático italiano Torricelli estudou essa questão e considerando que :




  • a aceleração da gravidade da Terra é em torno de 9,8 m/segundo ao quadrado;



  • que a massa (peso) do objeto não afeta a queda de um corpo;



  • que a resistência do ar pode ser desprezada para corpos com pouca resistência aerodinâmica.


Chamando de x a altura do objeto em metros e de y a velocidade do objeto em m/s ,ao se deslocar x metros , Torriceli chegou na lei matemática y= 6,2(raiz quadrada de x)





Graficamente temos :



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.No gráfico observa-se que se largamos o tijolo de 2m de altura, ele atingirá uma velocidade de quase 9m/s ,o que equivale a 32,4km/h. Enquando que a uma altura de 2cm, 0,02m o tijolo atinge uma velocidade de apenas 0,87m/s (87cm/s) o que equivale a apenas 3km/h.



Assim, se uma pessoa cai de uma árvore de 15m de altura, ela atinge o chão na velocidade de 24m/s ,o que equivale a 84km/h.



.Da mesma forma, é possível analisar com o uso de funções diversas outras situações como o desenvolvimento de epidemias em função da população, o lucro de uma empresa em função do número de empregados, a depreciação de carros usados em função do ano , o rendimento de uma poupança, etc.



domingo, 3 de maio de 2009

MATRIZES E TRIGONOMETRIA

Em Matemática, uma matriz é uma tabela de m x n símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares. (Um exemplo fácil de corpo é o conjunto dos números reais, que todo aluno conhece).
As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento aij ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j].Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1 (uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.
Trigonometria (do grego trigonon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais.
(adaptado de http://pt.wikipedia.org/ , acessado em 24.04.2010)

sábado, 2 de maio de 2009

Elipse






Elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (chamados focos) é constante.






Nas elipses representadas acima temos que a soma das distâncias dos focos até um ponto qualquer da elipse é 10.


Algumas situações em que o estudo da elipse é importante:
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* No século XVII Joanes Kepler descobriu que a órbita dos planetas do sitema solar é uma elipse e o sol ocupa um de seus focos.
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* O formato de uma superfície plana pode ser uma elipse. E, nesse caso podemos calcular sua área por A= (Pi) x (metado do eixo maior) x (metado do eixo menor) .
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*A elipse possui uma propriedade importante para a óptica, visto que se um raio de luz for disparado do foco F1 em direção a qualquer ponto da elipse, o raio será refletido para o foco F2.
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Uma aplicação óptica vê-se no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado.
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Uma ilustração acústica da propriedade de reflexão da elipse pode encontrar-se em salas que
têm a forma de meio elipsóide (um elipsóide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em
torno do seu eixo, isto é, da recta definida pelos dois focos). Se duas pessoas se colocarem nos
focos e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá perfeitamente, ainda que a sala
seja grande e haja outros ruídos. Existem salas deste tipo (às vezes chamadas “galerias de
murmúrios”) em vários edifícios públicos na Europa e nos Estados Unidos.
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